介绍:
函数的传统定义：
设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的近代定义：
设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。
符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：
x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。
对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。
函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：
1）定义域不同，两个函数也就不同；
2）对应法则不同，两个函数也是不同的；
3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。
例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。
例如：在①y＝x与 ，② 与 ，③y＝x＋1与 ，④y＝x0与y＝1，⑤y＝｜x｜与 这五组函数中，只有⑤表示同一函数。
f（x）与f（a）的区别与联系
f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一常数。
当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。
比如f（x）＝x2＋1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1，左端表示对x ＋1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x＋1的函数解析式。
函数的定义域：
定义：
原象的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，即自变量的允许值范围。
当函数用解析式给出时，定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合。
求定义域：
求定义域的三种基本方法：
一是依据函数解析式中所包含的运算（除法、开平方等）对自变量的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；
二是依据确定函数y＝f（x）的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；
三是根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。
如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合。对含参数的函数求定义域（或已知定义域，求字母参数的取值范围）时，必须对参数的取值进行讨论。
。
当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定。
函数的值域：
定义：
象的集合C（C B）叫做函数y＝f(x)的值域，即函数值的变化范围。
求值域的基本方法：
依据各类基本函数的值域，通过不等式的变换，确定函数值的取值范围，在这一过程中，充分利用函数图像的直观性，能有助于结论的得出和检验。从定义域出发，利用函数的单调性，是探求函数值域的通法
函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常见函数值域：
y=kx+b （k≠0）的值域为
R
y=1/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)
y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；
当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域为 (0,+∞)
y=lgx的值域为
R
大家还在听
