介绍:
双曲线(Hyperbola)，是指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线。方程：X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)。
基本信息
中文名：双曲线
其他外文名：hyperbolic
学科应用：数学（解析几何）
实际应用：埃菲尔铁塔，天文望远镜的设计
第二定义
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
❤注意：定点要在直线外；比值大于1
❤双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
❤其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a
几何性质
（1）范围
由标准方程 ，可得x2≥a2，当|x|≥a时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值．要讲情在x＝－a，x＝a之 间没有图象，当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
（2）顶点
双曲线 有两个顶点（a，0），（－a，0）．令x＝0时，方程y2＝－b2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长．
（3）对称性
双曲线的对称性与椭圆完全相同，可逐一提问，让学生回答双曲线的对称性，并说明原因．
（4）渐近线
对圆锥曲线来说，这是双曲线特有的性质．在远离双曲线的中心时，双曲线的渐近线几乎成为双曲线的“代表”，“双曲线是直线？”在徒手画双曲线时双曲线的渐近线指导意义更为突出．
若曲线上某一点到某条直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线．
首先可以看到，由双曲线的标准方程解出
y＝± ＝± x ，
当x无限增大时， 趋向于0，也就是说，这时双曲线y＝± 与直线y＝± x无限接近．这使我们有理由猜想直线y＝± x为双曲线的渐近线．至于在第一象限内，当x无限增大时，双曲线上的点M（x，y）到直线y＝± x的距离是否趋向于0。
如图，设点M到直线y＝± x 的距离为|MQ|，在Rt△MQN中，若斜边的长趋近于0，当然直角边的长也趋近于0，所以当|MN|→0时，立刻可得|MQ|→0，这就证明了当x无限增大时，点M到直线y＝± x的距离趋近于0．
（5）离心率
与椭圆一样，我们把比值e＝ 叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据．由于上 ＝ ，当e的值从接近于 1逐渐增大时， 的值就从接近于 0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大．
标准公式
X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x=0,y=0
所以应该旋转45度
设旋转的角度为a（a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
则
X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2
=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2
=4(√2/2x)(√2/2y)
=2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)
Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数
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